MATLAB基本操作

1. 对象定义
使用sym定义单个对象、使用syms定义多个对象

2. 使用limit求极限

$$ \lim_{v \rightarrow a} f(x) $$

1	limit(f,v,a) % 使用limit(f,v,a,'left')可求左极限

3. 导数
使用diff(f,v,n)对$ f(v)=v^{t-1} $求 $ n $ 阶导 $ \frac{d^nf}{d^nv} $，n缺省时，默认为1，diff(f)默认求一阶导数。

4. 定积分和不定积分
使用int(f,v)求f对变量v的不定积分，使用int(f,v,a,b)求f对变量v的定积分,a、b为积分上下标。$ \int{f(v)dv} $、$ \int^{a}_{b}{f(v)dv} $。

5. matlab函数文件定义形式

1 2	function [输出形参列表] = 函数名（输入形参列表）函数体

function spir_len = spirallength(d, n, lcolor)
% SPIRALLENGTH plot a circle of radius as r in the provided color and calculate its area
% 输入参数：
%   d: 螺旋的旋距
%   n: 螺旋的圈数
%   lcolor：画图线的颜色
% 输出参数：
%   spir_len：螺旋的周长
% 调用说明：
%   spirallength(d,n):以参数d,n画螺旋线，螺旋线默认为蓝色
%   spirallength(d,n,lcolor):以参数d,n,lcolor画螺旋线
%   spir_len = spirallength(d,n):计算螺旋线的周长，并以蓝色填充螺旋线
%   spir_len = spirallength(d,n,lcolor):计算螺旋线的周长，并以lcolor颜色填充螺旋线

% 版本号V1.0，编写于1999年9月9号，修改于1999年9月10号，作者：亚索

if nargin > 3
    error('输入变量过多！');
elseif nargin == 2
    lcolor = 'b'; % 默认情况下为蓝色
end

j = sqrt(-1);
phi = 0 : pi/1000 : n*2*pi;
amp = 0 : d/2000 : n*d;
spir = amp .* exp(j*phi);

if nargout == 1
    spir_len = sum(abs(diff(spir)));
    fill(real(spir), imag(spir), lcolor);
elseif nargout == 0
    plot(spir, lcolor);
else
    error('输出变量过多！');
end

axis('square');

6. matlab程序设计语句

% for循环
for 循环变量=初值:步长:终值
    循环体
end

% while循环
while 条件
    循环体
end

% if语句
if 条件
    语句组1
elseif
    语句组2
else
    语句组3
end

% switch语句
switch 表达式
   case  表达式1
         语句组1
   case  表达式2
         语句组2
      ... ...
   case   表达式m
          语句组m
   otherwise
          语句组
end

% try语句
try
   语句组1                %语句组1若正确则跳出该结构
catch
   语句组2
end

7. 矩阵操作

操作	作用
size(A)	求矩阵A的行数和列数
length(x)	返回向量x的长度
A’	A的转置
A(:,n)	取矩阵A第n列数，A(n,:)取第n行
det(A)	求矩阵A的行列式
inv(A)	求A的逆
rank(A)	求A的秩
trace(A)	求A的迹
max(A)、min(A)	求A的各列最大、最小元素
mean(A)	求A各列的平均值
sum(A)	求A各列元素之和

8. matlab简单绘图

plot函数是MATLAB中最核心的二维绘图函数，有诸多语法格式，可实现多种功能。常用格式有：

plot(x)：缺省自变量的绘图格式，x可为向量或矩阵。
plot(x, y)：基本格式，x和y可为向量或矩阵。
plot(x1, y1, x2, y2,…)：多条曲线绘图格式，在同一坐标系中绘制多个图形。
plot(x, y,‘s’)：开关格式，开关量字符串s设定了图形曲线的颜色、线型及标示符号（见下表）。

无约束优化问题求解

fminbnd、fminunc函数输出变量解释

变量	描述
x	由优化函数求得的值. 若exitflag>0,则x为解; 否则,x不是最终解, 它只是迭代制止时优化过程的值
fval	解 x 处的目标函数值
exitflag	描述退出条件:exitflag>0,表目标函数收敛于解x处；exitflag=0,表已达到函数评价或迭代的最大次数；exitflag<0,表目标函数不收敛
output	包含优化结果信息的输出结构。Iterations:迭代次数；Algorithm:所采用的算法；FuncCount:函数评价次数

一元函数无约束优化问题-fminbnd

常用格式

$$ min f(x)， x_1<x<x_2 $$

（1）x= fminbnd (fun, x1, x2)
（2）x= fminbnd (fun, x1, x2 , options)
（3）[x , fval]= fminbnd（…）
（4）[x , fval , exitflag]= fminbnd（…）
（5）[x , fval , exitflag , output]= fminbnd（…）
函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解

例子

求函数 $ f(x)=2e^{-x}sin(x) $ 在 $ 0<x<8 $ 时的最小值

% 如果求最大需要对f取反
f = @(x) (2*exp(-x)*sin(x));
[x,fval] = fminbnd(f,0,8);
x
fval

多元函数无约束优化问题-fminunc

常用格式

$$ min f(X)，这里X为n维变量 $$
fminunc常用格式为:
（1）x= fminunc（fun, X0）；
（2）x= fminunc（fun, X0，options）；
（3）[x，fval]= fminunc（…）；
（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（…）；
（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（…）
其中 X0为初始值

例子

求函数$ f(x_1,x_2)=(4x_1^2+2x_2^2+4x_1x_2+2x_2^2+1)e^x $的最小值,$ X_0=[-1,1] $

f = @(x) (4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)*exp(x(1));
x0 = [-1,1];
[x,fval] = fminunc(f, x0);
x
fval

线性规划问题求解

使用linprog求解一般线性规划问题

常见问题（linprog默认求最小值）
$$ minz=cX $$

$$ s.t. \begin{cases}
AX\leq{b}\
Aeq\cdot{X}=beq\
VLB\leq{X}\leq{VUB}
\end{cases}$$

求解命令

1	[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

例子

$$ min z=13x_1+9x_2+10x_3+11x_4+12x_5+8x_6 $$

$$ s.t.\left{
\begin{aligned}
& x_1+x_2=400\
& x_2+x_5=600\
& x_3+x_6=500\
& 0.4x_1+1.1x_2+x_3\leq{800}\
& 0.5x_4+1.2x_5+1.3x_6\leq{900}\
& x_i\geq0,i=1,2,…,6
\end{aligned}
\right.
$$

f = [13 9 10 11 12 8];
A =  [0.4 1.1 1 0 0 0
      0 0 0 0.5 1.2 1.3];
b = [800; 900];
Aeq=[1 0 0 1 0 0
     0 1 0 0 1 0
     0 0 1 0 0 1];
beq=[400 600 500];
vlb = zeros(6,1);
vub=[];
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

使用bintprog求解0-1规划问题

matlab2014以上版本使用intlinprog求解0-1规划问题

$$ minz=cX $$

$$ s.t. \begin{cases}
AX\leq{b}\
Aeq\cdot{X}=beq\
X为0-1变量
\end{cases}$$

1 2	% 命令 [x,fval] = bintprog(c,A,b,Aeq,beq)

例子

$$ min z=3x_1+7x_2-x_3+x_4 $$
$$ s.t.
\begin{cases}
2x_1-x_2+x_3-x_4\geq{1}\
x_1-x_2+6x_3+4x_4\geq{8}\
5x_1+3x_2+x_4\geq{5}\
x_i=0或1（i=1,2,3,4）
\end{cases}
$$

z = [3;7;-1;1];
A = [-2 1 -1 1;
     -1 1 -6 -4;
     -5 -3 0 -1];
b = [-1;-8;-5];
Aeq = [];
beq = [];

[x,fval] = bintprog(z,A,b,Aeq,beq)

数据插值与拟合

数据插值，使用interpl进行一维插值

matlab命令

1	yi = interpl(X,Y,xi,method)

该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以该函数给出xi处的值。其中x=[x1,x2,…,xn]’和 y=[y1,y2,…,yn]’两个向量分别为给定的一组自变量和函数值，用来表示已知样本点数据；xi为待求插值点处横坐标，可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调；yi得到返回的对应纵坐标。

method可以选取以下方法之一：
- ‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；
- ‘spline’：三次样条函数插值；
- ‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；
- ‘cubic’：三次函数插值；

例子

作函数$ y=(x^2-3x+7)e^{-4x}sin(2x) $在[0,1]取间隔为0.1的点图，用插值进行实验

x=0:0.1:1;
y=(x.^2-3*x+7).*exp(-4*x).*sin(2*x);  %产生原始数据

subplot(1,2,1);
plot(x,y,x,y,'ro')    %作图
xx=0:0.02:1;  %待求插值点
yy=interp1(x,y,xx,'spline');   %此处可用nearest,cubic,spline分别试验

subplot(1,2,2)
plot(x,y,'ro',xx,yy,'b')    %作图

曲线拟合

拟合函数polyfit

1 2	p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n)

说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。p是n+1维参数向量p(1)，p(2)….那么拟合后对应的多项式即为：
$$ p(1)x^n+p(2)x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+p(n)x+p(n+1) $$

x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计

多项式求值函数polyval

1 2	y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s)

说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数p的多项式的值；
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则DELTA将至少包含50%的预测值。

例子

求如下给定数据的拟合曲线
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]

x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
plot(x,y,‘*r’)  %先观察数据点的大致形态
p=polyfit(x,y,2)  %用二次多项式拟合
x1=0.5:0.05:3.0; % 步长0.05
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')